Contenu Secondaire ( 1-er cycle)

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ARITHMÉTIQUE

Concepts

Sens du nombre en notation décimale et fractionnaire et sens des opérations

  • Lecture, écriture, représentations variées, régularités, propriétés
  • Notations fractionnaire, décimale, exponentielle (exposant entier); pourcentage, racine carrée
  • Caractères de divisibilité (par 2, 3, 4, 5, 10)
  • Règles des signes pour les nombres écrits en notation décimale
  • Relation d’égalité : sens, propriétés et règles de transformation (principe de la balance)
  • Opérations inverses : addition et soustraction, multiplication et division, carré et racine carrée
  • Propriétés des opérations :
    • Commutativité et associativité
    • Distributivité de la multiplication sur l’addition ou la soustraction et mise en évidence simple
  • Priorité des opérations et utilisation d’au plus deux niveaux de parenthèses dans différents contextes

Note :

  1. Le programme vise essentiellement l’étude des nombres rationnels positifs et négatifs, écrits en notation décimale ou fractionnaire.

  2. L’étude systématique des ensembles de nombres n’est pas retenue pour le premier cycle, mais l’utilisation des termes justes qui ont été employés au primaire est toujours à privilégier (nombres naturels, entiers, décimaux).

  3. Le sens des nombres, des opérations et de l’égalité doit être au coeur des apprentissages.Selon le contexte ou les besoins, l’élève pourra aussi employer d’autres caractères de divisibilité tels que 6, 9, 12 ou 25.

  4. La connaissance des propriétés des opérations permet d’envisager des écritures équivalentes qui simplifient les calculs et peut libérer d’une dépendance à l’égard de la calculatrice.

  5. La connaissance des priorités des opérations permet de comprendre et d’apprécier l’efficacité de la technologie.

Processus

Différentes formes d’écriture et de représentation

  • Appréciation de l’ordre de grandeur
  • Comparaison
  • Utilisation de représentations variées (numérique, graphique, etc.)
  • Reconnaissance et production d’écritures équivalentes :
    • Décomposition (additive, multiplicative, etc.)
    • Fractions équivalentes
    • Simplification et réduction
  • Passage d’une forme d’écriture à une autre, d’une représentation à une autre
  • Transformation d’égalités arithmétiques
  • Repérage de nombres sur la droite numérique, abscisse d’un point

Note

  1. On utilise les nombres positifs ou négatifs, en notation décimale ou fractionnaire dans le repérage sur un axe et dans un plan cartésien.

  2. Le passage d’une forme d’écriture à une autre se fait à l’aide de nombres positifs.

Opérations sur des nombres en notation décimale et fractionnaire

  • Estimation et arrondissement dans différents contextes

  • Recherche d’expressions équivalentes

  • Approximation du résultat d’une opération

  • Simplification des termes d’une opération

  • Calcul mental : les quatre opérations, particulièrement avec les nombres écrits en notation décimale en mettant à profit des écritures équivalentes et les propriétés des opérations

  • Calcul écrit : les quatre opérations, avec des nombres facilement manipulables (y compris des grands nombres) et des chaînes d’opérations simples en respectant leur priorité (nombres écrits en notation décimale) et en mettant à profit des écritures équivalentes et les propriétés des opérations

  • Utilisation d’une calculatrice : opérations et chaînes d’opérations en respectant leur priorité

Note :

  1. Dans les opérations, l’utilisation des nombres négatifs se limite aux nombres écrits en notation décimale.

  2. L’élève utilise un outil technologique pour les opérations dans lesquelles les diviseurs ou les multiplicateurs ont plus de deux chiffres.

  3. Pour le calcul écrit, la compréhension et la maîtrise des processus doivent primer plutôt que la complexité des calculs.

  4. L’élève deviendra apte à utiliser la technologie au moment opportun.

ALGÈBRE

Concepts

Sens des expressions algébriques

  • Expression algébrique
    • Variable
    • Coefficient
    • Degré
    • Terme, termes semblables
  • Égalité, équation et inconnue
  • Équation du premier degré à une inconnue se ramenant à la forme ax + b = cx + d

Processus

  • Construction d’une expression algébrique
  • Reconnaissance et recherche d’expressions algébriques équivalentes
  • Évaluation numérique d’une expression algébrique
  • Manipulation d’expressions algébriques
    • Addition et soustraction
    • Multiplication et division par une constante
    • Multiplication de monômes de degré 1
  • Résolution d’équations du premier degré à une inconnue
  • Validation de la solution obtenue par substitution
  • Représentation globale d’une situation par un graphique

Note

  1. Les coefficients et les termes constants des expressions algébriques sont des nombres écrits en notation décimale ou fractionnaire.

  2. Le choix de la notation dépend de la situation. Par exemple, les nombres en notation fractionnaire ayant un développement décimal périodique (ex : 1/3, 2/7, …) et ceux permettant des simplifications ne devraient pas être transformés en notation décimale.

PROBABILITÉ

Concepts

Expérience aléatoire

  • Expérience aléatoire
    • Expériences aléatoires à une ou plusieurs étapes (avec ou sans remise, avec ou sans ordre)
    • Résultats d’une expérience aléatoire
    • Univers des résultats possibles
  • Événement
    • Événement certain, probable, impossible, élémentaire
    • Événements complémentaires, compatibles, incompatibles, dépendants, indépendants
  • Probabilité théorique et probabilité fréquentielle

Processus

  • Traitement de données tirées d’expériences aléatoires
  • Dénombrement des possibilités par la mise à profit de différents modes de représentation : arbre, réseau, grille, etc.
  • Calcul de la probabilité d’un événement

Note

  1. Dans la construction de sa pensée probabiliste, l’élève est initié au langage ensembliste, que l’on considère comme un outil de compréhension et de communication.

STATISTIQUE

Concepts

Relevé statistique

  • Population, échantillon
    • Sondage, recensement
    • Échantillon représentatif
    • Méthodes d’échantillonnage : aléatoire simple, systématique
    • Sources de biais
  • Données
    • Caractère qualitatif
    • Caractère quantitatif discret ou continu
  • Tableau : caractères, effectifs, fréquences
  • Lecture de représentations graphiques : diagramme à bandes, diagramme à ligne brisée, diagramme circulaire
  • Moyenne arithmétique
  • Étendue

Processus

Traitement de données tirées de relevés statistiques

  • Réalisation d’un sondage ou d’un recensement
    • Détermination de la population ou de l’échantillon
    • Collecte de données
  • Organisation et choix de certains outils permettant de rendre compte des données recueillies
    • Construction de tableaux
    • Construction de représentations graphiques : diagramme à bandes, diagramme à ligne brisée, diagramme circulaire
    • Mise en évidence de certains aspects de l’information pouvant être dégagés d’un tableau ou d’une représentation graphique (ex. le minimum, le maximum, l’étendue, la moyenne)

GÉOMÉTRIE

Concepts

Figures géométriques et sens spatial

  • Figures planes
    • Triangles, quadrilatères et polygones réguliers convexes
  • Segments et droites remarquables : bissectrice, médiatrice, médiane, hauteur
  • Base, hauteur
  • Cercle, disque et secteur
    • Rayon, diamètre, corde, arc
    • Angle au centre
  • Mesure
    • Angle et arc en degrés
    • Longueur
    • Périmètre, circonférence
    • Aire, aire latérale, aire totale
    • Choix de l’unité de mesure pour les longueurs ou les aires
    • Relations entre les unités de longueur du SI
    • Relations entre les unités d’aire du SI
  • Angles
    • Complémentaires, supplémentaires
    • Créés par deux droites sécantes : opposés par le sommet, adjacents
    • Créés par une droite sécante à deux autres droites : alternes-internes, alternesexternes, correspondants
  • Solides
    • Prismes droits, pyramides droites et cylindres droits
    • Développements possibles d’un solide
    • Solides décomposables
  • – Figures isométriques et semblables

Processus

  • Constructions géométriques
  • Transformations géométriques
    • Translation, rotation, réflexion
    • Homothétie de rapport positif
  • Recherche de mesures manquantes
    • Angles
  • Mesures manquantes dans différents contextes
    • Longueurs
  • Périmètre d’une figure plane
  • Circonférence d’un cercle et longueur d’un arc
  • Périmètre d’une figure provenant d’une similitude
  • Segments provenant d’une isométrie ou d’une similitude
  • Mesure manquante d’un segment d’une figure plane
    • Aires
  • Aire de polygones décomposables en triangles et en quadrilatères
  • Aire de disques et de secteurs
  • Aire de figures décomposables en disques, en triangles ou en quadrilatères
  • Aire latérale ou totale de prismes droits, de cylindres droits ou de pyramides droites
  • Aire latérale ou totale de solides décomposables en prismes droits, en cylindres droits ou en pyramides droites

Note

  1. Les processus liés aux transformations et aux constructions géométriques servent à construire des concepts et à dégager des invariants et des propriétés afin de les réinvestir dans différents contextes et de développer le sens spatial.

  2. Elles peuvent être réalisées à l’aide d’instruments de géométrie ou de logiciels appropriés dans le plan euclidien.

  3. Les transformations géométriques dans le plan cartésien ne sont pas retenues au premier cycle.

  4. Lors de la recherche de mesures manquantes, l’élève est occasionnellement invité à effectuer des transferts dans des problèmes plus complexes, c’est-à-dire ceux qui nécessitent la décomposition d’un problème en sous-problèmes, par exemple le calcul de l’aire de figures décomposables. De ce fait, il gère un problème qui comporte plusieurs étapes.

  5. Il met aussi à profit le développement d’un solide. De plus, il utilise des relations et des propriétés connues.

  6. Il met en oeuvre des processus arithmétiques et algébriques ainsi qu’un raisonnement proportionnel.

ÉNONCÉS DE GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE

  1. Dans tout triangle isocèle, les angles opposés aux côtés isométriques sont isométriques.
  2. L’axe de symétrie d’un triangle isocèle supporte une médiane, une médiatrice, une bissectrice et une hauteur de ce triangle.
  3. Les côtés opposés d’un parallélogramme sont isométriques.
  4. Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.
  5. Les angles opposés d’un parallélogramme sont isométriques.
  6. Les diagonales d’un rectangle sont isométriques.
  7. Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires.
  8. Si deux droites sont parallèles à une troisième, alors elles sont aussi parallèles entre elles.
  9. Si deux droites sont perpendiculaires à une troisième, alors elles sont parallèles.
  10. Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une d’elle est perpendiculaire à l’autre.
  11. Trois points non alignés déterminent un et un seul cercle.
  12. Toutes les médiatrices des cordes d’un cercle se rencontrent au centre de ce cercle.
  13. Tous les diamètres d’un cercle sont isométriques.
  14. Dans un cercle, la mesure d’un rayon est égale à la demi-mesure du diamètre.
  15. Dans un cercle, le rapport de la circonférence au diamètre est une constante que l’on note p.
  16. Des angles adjacents dont les côtés extérieurs sont en ligne droite sont supplémentaires.
  17. Les angles opposés par le sommet sont isométriques.
  18. Dans un cercle, l’angle au centre a la même mesure en degrés que celle de l’arc compris entre ses côtés.
  19. Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles alternes-internes, alternesexternes et correspondants sont respectivement isométriques.
  20. Dans le cas d’une droite coupant deux droites, si deux angles correspondants (ou alternes-internes ou encore alternes-externes) sont isométriques, alors ils sont formés par des droites parallèles coupées par une sécante.
  21. Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les paires d’angles internes situées du même côté de la sécante sont supplémentaires.
  22. Dans un cercle, le rapport des mesures de deux angles au centre est égal au rapport des mesures des arcs interceptés entre leurs côtés.
  23. Dans un disque, le rapport des aires de deux secteurs est égal au rapport des mesures des angles au centre.
  24. La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle est de 180º.
  25. La mesure d’un angle extérieur d’un triangle est égale à la somme des mesures des angles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents.
  26. Les éléments homologues de figures planes ou de solides isométriques ont la même mesure.
  27. Les angles homologues des figures planes ou des solides semblables sont isométriques et les mesures des côtés homologues sont proportionnelles.
  28. Dans des figures planes semblables, le rapport entre les aires est égal au carré du rapport de similitude.

Exemples de stratégies

associées à la résolution de situations-problèmes et pouvant être développées par l’élève au moment de l’exercice de ses compétences

Compréhension

  • Distinguer les termes du langage courant et du langage mathématique
  • Se représenter la situation mentalement ou par écrit
  • Dégager la tâche à réaliser
  • Reformuler la situation dans ses propres mots

Organisation

  • Établir des liens
  • Mobiliser les concepts et les processus
  • Utiliser des listes, des tableaux, des schémas, du matériel concret, des dessins

Solution

  • Procéder par essais et erreurs
  • Faire des retours sur son travail (travailler à rebours)
  • Se référer à un problème analogue déjà résolu
  • Diviser un problème complexe en sous-problèmes
  • Simplifier le problème

Validation

  • Vérifier sa solution à l’aide d’exemples ou par un raisonnement
  • Utiliser d’autres processus, s’il y a lieu
  • Chercher des contre-exemples
  • Comparer et confronter ses démarches et ses résultats avec ceux de son enseignant ou de ses pairs

Communication

  • Structurer ses idées
  • Confronter sa compréhension de mots communs au langage courant et au langage mathématique
  • Mobiliser différents modes de représentation
  • Expérimenter différentes façons de transmettre un message à caractère mathématique
  • Expliquer son raisonnement